Question

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是Q，點(diǎn)M，試判斷|PM|＋|PQ|是否存在最小值，若存在，求出其最小值，若不存在，請說明理由；
(3)過拋物線焦點(diǎn)F作互相垂直的兩直線分別交拋物線于A，C，B，D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

（1）y²＝2x.（2）（3）8.

(1) 由題意知以直線l：x＝－為準(zhǔn)線的拋物線，得＝，∴p＝1，方程為y²＝2x.
(2)易知點(diǎn)M在拋物線的外側(cè)，延長PQ交直線x＝－于點(diǎn)N，
由拋物線的定義可知|PN|＝|PQ|＋＝|PF|，
當(dāng)三點(diǎn)M，P，F(xiàn)共線時(shí)，|PM|＋|PF|最小，此時(shí)為|PM|＋|PF|＝|MF|.
又焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，所以|MF|＝＝2，
即|PM|＋＋|PQ|的最小值為2，所以|PM|＋|PQ|的最小值為.
(3)設(shè)過F的直線方程為y＝k ，A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，
由得k²x²－(k²＋2)x＋＝0，
由韋達(dá)定理得x₁＋x₂＝1＋，x₁x₂＝，
所以|AC|＝＝2＋，
同理|BD|＝2＋2k².
所以四邊形ABCD的面積S＝＝2≥8，
即四邊形ABCD面積的最小值為8.