Question

已知等差數列{a_n}的首項為a，公差為b；等比數列{b_n}的首項為b，公比為a，其中a，b∈N₊，
且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）若對于任意n∈N₊，總存在m∈N₊，使a_m+3=b_n，求b的值；
（3）在（2）中，記{c_n}是所有{a_n}中滿足a_m+3=b_n，m∈N₊的項從小到大依次組成的數列，又記S_n為{c_n}的前n項和，t_n和{a_n}的前n項和，求證：S_n≥T_n（n∈N）．

Answer 1

分析：（1）由a＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N₊，知

a+b＜ab ab＜a+2b

，由此能求出a的值；
（2）由a_m=2+（m-1）b，b_n=5•2^n-1由a_m+3=b_n可得5+（m-1）b=b•2^n-1．b（2^n-1-m+1）=5．由此能求出b的值；
（3）由（2）知a_n=5n-3，b_n=5•2^n-1，a_m=b_n-3=5•2^n-1-3，C_n=5•2^n-1-3，S_n=5（2ⁿ-1）-3n，T_n=

1

2

n（5n-1）．由此能夠證明S_n≥T_n（n∈N₊）．

解答：解：（1）∵a＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N₊，
∴

a+b＜ab ab＜a+2b

，∴

a＞ b b-1 a＜ 2b b-1

，
∴

a＞1+ 1 b-1 a＜2+ 2 b-1

，∴

a＞1 a＜4

．
∴a=2或a=3（a=3時不合題意，舍去）．∴a=2．

（2）a_m=2+（m-1）b，b_n=5•2^n-1由a_m+3=b_n可得
5+（m-1）b=b•2^n-1．∴b（2^n-1-m+1）=5．
∴b=5

（3）由（2）知a_n=5n-3，b_n=5•2^n-1，∴a_m=b_n-3=5•2^n-1-3
∴C_n=5•2^n-1-3，S_n=5（2ⁿ-1）-3n，T_n=

1

2

n（5n-1）．
∵S₁=T₁=2，S₂=T₂=9．
當n≥3時，S_n-T_n=5[2ⁿ-

1

2

n²-

1

2

n-1]
=5[（1+1）ⁿ-

1

2

n²-

1

2

n-1]
=5[（1+C_n¹+C_n²+C_n³+…）-

1

2

n²-

1

2

n-1]＞5[1+n+

n(n-1)

2

-

1

2

n²-

1

2

n-1]=0．
∴S_n＞T_n．綜上得S_n≥T_n（n∈N₊）．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細求解．