【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓C的長軸長為4．
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
與橢圓交于A，B兩點，是否存在實數k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由
【答案】（1）
（2）當
時，以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O
【解析】
試題分析：（1）設橢圓的焦半距為c，利用離心率為
，橢圓C的長軸長為4．列出方程組求解c，推出b，即可得到橢圓的方程；（2）存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．設點A
，B
，將直線l的方程
代入，化簡，利用韋達定理，結合向量的數量積為0，轉化為
．求解即可
試題解析：（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得
，解得
，………2分
所以
，故所求橢圓C的方程為．…………..4分
（2）存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．理由如下：
設點
，
，將直線
的方程
代入，
并整理，得
．（*）………………………………….6分
則
，
．………………………………………8分
因為以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O，所以
，即
．
又
,于是
，…………….10分
解得
，………………………………..11分
經檢驗知：此時（*）式的Δ＞0，符合題意．
所以當時，以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．………………12分
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某汽車美容公司為吸引顧客，推出優惠活動：對首次消費的顧客，按
元/次收費, 并注冊成為會員, 對會員逐次消費給予相應優惠，標準如下：
消費次第 | 第 | 第 | 第 | 第 |
|
收費比例 |
|
|
|
|
|
該公司從注冊的會員中, 隨機抽取了
位進行統計, 得到統計數據如下:
消費次第 | 第 | 第 | 第 | 第 | 第 |
頻數 |
|
|
|
|
|
假設汽車美容一次, 公司成本為
元, 根據所給數據, 解答下列問題:
（1）估計該公司一位會員至少消費兩次的概率；
（2）某會員僅消費兩次, 求這兩次消費中, 公司獲得的平均利潤；
（3）以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率, 設該公司為一位會員服務的平均利潤為
元, 求
的分布列和數學期望
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分14分）體育測試成績分為四個等級：優、良、中、不及格．某班50名學生參加測試的結果如下：
等級 | 優 | 良 | 中 | 不及格 |
人數 | 5 | 19 | 23 | 3 |
（1）從該班任意抽取1名學生，求這名學生的測試成績為“良”或“中”的概率；
（2）測試成績為“優”的3名男生記為
，
，
，2名女生記為
，
．現從這5人中任選2人參加學校的某項體育比賽．
① 寫出所有等可能的基本事件；
② 求參賽學生中恰有1名女生的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于
的不等式
.
（1）是否存在
使對所有的實數
，不等式恒成立？若存在，求出
的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（2）設不等式對于滿足
的一切的值都成立，求的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD .
（1）求證：CD⊥平面ABD；
（2）若AB＝BD＝CD＝1，M為AD中點，求三棱錐A－MBC的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了對某課題進行研究，用分層抽樣方法從三所高校
的相關人員中，抽取若干人組成研究小組，有關數據見下表（單位：人）
高校 | 相關人數 | 抽取人數 |
A | 18 |
|
B | 36 | 2 |
C | 54 |
|
（Ⅰ）求
，
；
（Ⅱ）若從高校
抽取的人中選2人作專題發言，求這二人都來自高校
的概率.
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