Question

季節性服裝當季節即將來臨時，價格呈上升趨勢，設某服裝開始時定價為10元，并且每周（7天）漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩銷售；10周后當季節即將過去時，平均每周削價2元，直到16周末，該服裝已不再銷售．
（Ⅰ）試建立價格P與周次t之間的函數關系式；
（Ⅱ）若此服裝每件進價Q與周次t之間的關系為Q=-0.125（t-8）²+12，t∈[0，16]，t∈N，試問該服裝第幾周每件銷售利潤最大？最大值是多少？（注：每件銷售利潤=售價-進價）

Answer 1

分析：（Ⅰ）周次為t，對t進行分類研究，根據題意即可列出價格P與t之間的函數關系式；
（Ⅱ）分段由P-Q得到銷售此服裝的利潤L與周次t的關系式，然后利用二次函數的單調性分段求最大值，最后取三段中最大值的最大者即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）根據題意可得，
P=

10-2t，t∈[0，5] 20，      t∈(5，10] 40-2t，t∈(10，16]

；
（Ⅱ）設銷售此服裝每件的利潤為L（元），
則L=P-Q=

10+2t+0.125(t-8)2-12，t∈[0，5] 20+0.125(t-8)2-12，t∈(5，10] 40-2t+0.125(t-8)2-12，t∈(10，16]

=

0.125t2+6，t∈[0，5] 0.125t2-2t+16，t∈(5，10] 0.125t2-4t+36，t∈(10，16]

，
①當0≤t≤5時且t∈N，函數L=0.125t²+6在區間[0，5]上單調遞增，
故當t=5時，L_max=9.125；
②當5＜t≤10時且t∈N，函數L=0.125t²-2t+16在區間（5，8）上單調遞減，在（8，10）上單調遞增，
故當t=6或10時，L_max=8.5；
③當10＜t≤16且t∈N，函數L=0.125t²-4t+36在區間（10，16]上單調遞減，
故當t=11時，L_max=7.125．
綜合①②③可得，當t=5時，L_max=9.125，
答：第5周時，每件銷售利潤最大為9.125元．

點評：本題考查了函數模型的選擇與應用．建立的數學模型為分段函數，求解分段函數的最值問題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．屬于中檔題．