Question

在某服裝批發市場，季節性服裝當季節即將來臨時，價格呈現上升趨勢，設某服裝開始時定價10元，并且每周（7天）漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩銷售，10周后，當季節即將過去時，平均每周削價2元，直到16周末，該服裝已不再銷售．
（1）試求價格p（元）與周次t之間的函數關系式；
（2）若此服裝每周進價q（元）與周次t之間的關系是q=-

1

8

(t-8)2+12，t∈[1，16]且t∈N，試問該服裝第幾周每件銷售利潤最大．

Answer 1

分析：（1）直接由一次函數和常數函數關系列出價格p（元）與周次t之間的函數關系式；
（2）分段由p-q得到銷售此服裝的利潤y與周次t的關系式，然后利用二次函數和一次函數的單調性分段求最大值，最后取三段中最大值的最大者．

解答：解：（1）由題意可得p=

10+2t(1≤t≤5且t∈N) 20       (6≤t≤10且t∈N) 40-2t(11≤t≤16且t∈N)

；
（2）設銷售此服裝每件的利潤為y（元），
則y=p-q=

1 8 t2+6  (1≤t≤5且t∈N) 1 8 (t-8)2+8(6≤t≤10且t∈N) 1 8 t2-4t+46(11≤t≤16且t∈N)

．
當1≤t≤5且t∈N時，有t=5時，ymax=

73

8

當6≤t≤10且t∈N時，有t=6或t=10時，ymax=

17

2

當11≤t≤16且t∈N時，有t=11時，ymax=

57

8

綜上：t=5時，ymax=

73

8

答：第5周時，每件銷售利潤最大為

73

8

元．

點評：本題考查了函數模型的選擇與應用，考查了分段函數的最值的求法，訓練了利用函數的單調性求函數的最值，是中檔題．