Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）已知函數在時總有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）先對函數求導，得到，分別討論，，，四種情況，即可求出結果；

（2）先構造函數，分別討論，兩種情況，用導數的方法研究函數單調性，即可根據題意求出參數范圍.

（1）因為，

所以.

（ⅰ）若，恒成立，所以在上單調遞增.

（ⅱ）若，，當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減.

（ⅲ）若，恒成立，所以在上單調遞增.

（ⅳ）若，，當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增.

綜上，當或時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減

（2）構造函數，

當時，由，得，，∴.

當時，，

因為，所以，所以在上恒成立，故在上單調遞增.

，解得，又，所以.

故的取值范圍是.