Question

為考察某種要?jiǎng)?wù)預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：

藥物效果試驗(yàn)列聯(lián)表：

從沒服用藥的動(dòng)物中任取兩只，未患病數(shù)為ξ；從服用藥物的動(dòng)物中任取兩只，未患病數(shù)為η．工作人員曾計(jì)算過(guò)P(ξ=0)=

38

9

P(η=0)．
（1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)x，y，M，N的值，請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)畫出列聯(lián)表的等高條形圖，并通過(guò)條形圖判斷藥物是否有效
（2）求ξ和η的均值并比較大小，請(qǐng)解+釋所得出結(jié)論的實(shí)際含義；
（3）能夠以97.5%的把握認(rèn)為藥物有效嗎？
參考數(shù)據(jù)：

參考公式：一般地，假設(shè)有兩個(gè)變量X和Y，它們的可能取值分別為{x₁，x₂}和{y₁，y₂}，其樣
本頻數(shù)列聯(lián)表為

隨機(jī)變量K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知已知的分布列數(shù)據(jù)計(jì)算出相關(guān)的x，y值，并求出對(duì)應(yīng)的M，N值，并填入表格的相應(yīng)位置．再根據(jù)列聯(lián)表畫出等高的條形圖，分析圖形易得到結(jié)論．
（2）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，代入相應(yīng)的公式，易得到ξ和η的均值，根據(jù)從沒服用藥的動(dòng)物中任取兩只未患病數(shù)為ξ；從服用藥物的動(dòng)物中任取兩只，未患病數(shù)為η，易分析出所得結(jié)論的實(shí)際含義．
（3）根據(jù)列聯(lián)表，及K²的計(jì)算公式，計(jì)算出K²的值，并代入臨界值表中進(jìn)行比較，不難得到答案．

解答：解：（1）∵P（ξ=0）=

C 2 20

C 2 50

，P（η=0）=

C 2 x

C 2 50

∴

C 2 20

C 2 50

=

38

9

×

C 2 x

C 2 50

∴x=10，y=40
∴M=30，N=70
畫出列聯(lián)表的等高條形圖如下圖：

由列聯(lián)表的等高條形圖可以初步判斷藥物有效
（2）ξ取值為0，1，2
P（ξ=0）=

C 2 20

C 2 50

=

38

245

，
P（ξ=1）=

C 1 20 C 1 30

C 2 50

=

120

245

，
P（ξ=2）=

C 2 30

C 2 50

=

87

245

∴Eξ=

294

245

P（η=0）=

C 2 10

C 2 50

=

9

245

，
P（η=1）=

C 1 10 C 1 40

C 2 50

=

80

245

，
P（η=2）=

C 2 40

C 2 50

=

156

245

∴Eη=

392

245

∴Eξ＜Eη
說(shuō)明藥物有效
（3）∵K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

100(800-300)2

30×70×50×50

≈4.762＜5.024
故沒有97.5%的把握認(rèn)為藥物有效

點(diǎn)評(píng)：獨(dú)立性檢驗(yàn)，就是要把采集樣本的數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

的值，比較與臨界值的大小關(guān)系，來(lái)判定事件A與B是否無(wú)關(guān)的問(wèn)題．具體步驟：（1）采集樣本數(shù)據(jù)．（2）由K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

計(jì)算的K²值．（3）統(tǒng)計(jì)推斷，當(dāng)K²＞3.841時(shí)，有95%的把握說(shuō)事件A與B有關(guān)；當(dāng)K²＞6.635時(shí)，有99%的把握說(shuō)事件A與B有關(guān)；當(dāng)K²≤3.841時(shí)，認(rèn)為事件A與B是無(wú)關(guān)的．