【題目】已知數列{an}中，a1=1，an+1=
，（n∈N*）
（1）求數列{an}的通項公式an，
（2）若數列{bn}滿足bn=（3n﹣1）
an，數列{bn}的前n項和為Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．
【答案】（1）an=
．（2）﹣1＜λ＜2．
【解析】
試題（1）由已知條件推導出
，從而得到
=（
）3n﹣1=
．由此能求出結果．
（2）由
=
，利用裂項求和法求出
，從而得到{Tn}為單調遞增數列，由此利用分類討論思想能求出λ的取值范圍．
解：（1）∵數列{an}中，a1=1，an+1=
，（n∈N*）
∴
=
，
∴
，
∴
=（
）3n﹣1=
．
∴an=．
（2）∵
，bn=（3n﹣1）
an，
∴
=
，
∴
，①
，②
①﹣②，得
=
﹣
=2﹣
，
∴
．，
∵Tn+1﹣Tn=（4﹣
）﹣（4﹣
）=
，
∴{Tn}為單調遞增數列，
∵不等式（﹣1）nλ＜Tn對一切n∈N*恒成立，
∴①當n為正奇數時，﹣λ＜Tn對一切正奇數成立，
∴（Tn）min=T1=1，∴﹣λ＜1，∴λ＞﹣1；
②當n為正偶數時，λ＜Tn對一切正偶數成立，
∵（Tn）min=T2=2，∴λ＜2．
綜上知﹣1＜λ＜2．
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【題目】已知橢圓C的兩個頂點分別為A(2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．
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【題目】如圖，四棱錐
的底面是菱形，
底面
，
分別是
的中點，
，
，
.
（I）證明：
；
（II）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（III）在
邊上是否存在點
，使
與
所成角的余弦值為
，若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.
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【題目】（選做題）
A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）
已知m，n∈R，向量
是矩陣
的屬于特征值3的一個特征向量，求矩陣M及另一個特征值．
B．[選修4-4：坐標系與參數方程]（本小題滿分10分）
在平面直角坐標系xOy中，已知直線
的參數方程為
( t為參數)，橢圓C的參數方程為
.設直線與橢圓C交于A，B兩點，求線段AB的長．
C．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）
已知x，y，z均是正實數，且
求證：
．
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【題目】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O，點D，E，F為圓O上的點，
，
，
分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起，，，使得D，E，F重合于P，得到三棱錐
．
（1）當
時，求三棱錐的體積；
（2）當
的邊長變化時，三棱錐的側面和底面所成二面角為
，求
的取值范圍．
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【題目】如圖，已知三棱錐D－ABC中，二面角A－BC－D的大小為90°，且∠BDC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，
．
（1）求證：AC⊥平面BCD；
（2）二面角B－AC－D為45°，且E為線段BC的中點，求直線AE與平面ACD所成的角的正弦值．
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