Question

【題目】如圖，已知三棱錐D－ABC中，二面角A－BC－D的大小為90°，且∠BDC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，．

（1）求證：AC⊥平面BCD；

（2）二面角B－AC－D為45°，且E為線段BC的中點，求直線AE與平面ACD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1））△ABC中,根據條件利用余弦定理求出AC,根據勾股定理證明垂直即可（2）以C為原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過點C作垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系，求出平面ACD的法向量，利用直線與平面所成角公式計算即可.

（1）△ABC中，由，

解得，從而AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC；又二面角A-BC-D的大小為90°，即平面BCD⊥平面ABC，

而平面BCD∩平面ABC＝BC，AC平面ABC，故AC⊥平面BCD；

（2）以C為原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過點C作垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

故平面ABC的法向量＝(0，0，1)，

設平面ACD的法向量＝(1，m，n)，由，易知m＝0，

從而＝(1，0，n)，，

解得n＝±1，結合實際圖形，可知n取1時，二面角為135°，應舍去，

所以＝(1，0，-1)，

易知，B(3，0，0)，故，則，

設直線AE與平面ACD所成的角為θ，

則，即直線AE與平面ABC所成的角的正弦值為．