Question

【題目】在數列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋1－an＋an－1＝0 (n≥2，且n∈N*)，若數列{an＋1＋λan}是等比數列．

(1)求實數λ；

(2)求數列{an}的通項公式；

(3)設，求證： .

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：(1)利用新數列為等比數列和遞推公式，通過待定系數法進行求解；（2）利用（1）結論得到關于的方程組進行求解；（3）利用放縮法和等比數列的求和公式進行求解.

試題解析：(1)由數列{an＋1＋λan}是等比數列，可設an＋1＋λan＝μ(an＋λan－1) (n≥2)．

∴an＋1＋(λ－μ)an－λμan－1＝0，

∵an＋1－an＋an－1＝0，

∴∴λ＝－或λ＝－3.

(2)解　由(1)知，n≥2，λ＝－時，

an－an－1＝3n－1，①

n≥2，λ＝－3時，an－3an－1＝.②

由①②可得an＝ (n≥2)，當n＝1時，也符合．

∴an＝ (3n－)，n∈N*.

(3)證明　由(2)知，

an＝>0，

∵an－3an－1＝，∴an>3an－1，

∴<·(n≥2)．

∴Sn<＋＝＋－<＋Sn.

∴Sn<.