Question

【題目】已知直角梯形中， ， ， ， 、分別是邊、上的點，且，沿將折起并連接成如圖的多面體，折后．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若折后直線與平面所成角的正弦值是，求證：平面平面．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由， 可得平面，從而，結合，根據線面垂直的判定定理可得； 平面，所以；（Ⅱ）作于，連，由（Ⅰ）知，即為與平面所成角，設， ，而直線與平面所成角的正弦值是，即，以 為軸建立坐標系，取的中點，先證明平面的法向量是，再利用向量垂直數量積為零可得平面的法向量，根據空間向量夾角的余弦公式可得結果.

試題解析：（Ⅰ）∵， ，

∴， ，

又， ，

∴平面， ，

又， ，

∴平面， ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可如圖建立空間直角坐標系，

作于，連，由（Ⅰ）知，

即為與平面所成角，設， ，

而直線與平面所成角的正弦值是，即．

（或：平面的法向量是， ， ， ，

則）．

易知平面平面于，取的中點，則平面，

而，則平面的法向量是，

（或另法求出平面的法向量是），

再求出平面的法向量，

設二面角是，則，

∴平面平面．