Question

【題目】已知函數f（x）= x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率小于0，求f（x）的單調區間；
（2）對任意的a∈[ ， ]，x1 ， x2∈[1，2]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜λ| ﹣ |，求正數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx的導數

f′（x）=x﹣（2a+2）+ = ，x＞0，

由題意可得f′（2）= ＜0，可得a＞ ，2a+1＞2＞1，

由f′（x）＞0，可得x＞2a+1或0＜x＜1；f′（x）＜0，可得1＜x＜2a+1．

即有f（x）的增區間為（0，1），（2a+1，+∞）；減區間為（1，2a+1）；

（2）解：由a∈[ ， ]，可得2a+1∈[4，6]，

由（1）可得f（x）在[1，2]遞減．

設1≤x1＜x2≤2，即有f（x1）＞f（x2）， ＞ ，

原不等式即為f（x1）﹣λ ＜f（x2）﹣λ

對任意的a∈[ ， ]，x1，x2∈[1，2]恒成立，

令g（x）=f（x）﹣ ，即有g（x1）＜g（x2），即為g（x）在[1，2]遞增，

即有g′（x）≥0對任意的a∈[ ， ]，x1，x2∈[1，2]恒成立，

即x﹣（2a+2）+ + ≥0，即為x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，

則（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，a∈[ ， ]，

由x∈[1，2]，可得2x﹣2x2≤0，只需 （2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0．

即x3﹣7x2+6x+λ≥0對x∈[1，2]恒成立，

令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，h′（x）=3x2﹣14x+6≤0在1≤x≤2恒成立，

則有h（x）在[1，2]遞減，可得h（2）取得最小值，且為﹣8+λ≥0，

解得λ≥8．即有正數λ的取值范圍是[8，+∞）．

【解析】（1）求出函數的導數，并分解因式，由題意可得f′（2）= ＜0，再由導數大于0，可得增區間，導數小于0，可得減區間，注意定義域；（2）求出2a+1的范圍，可得f（x）在[1，2]遞減，由題意可得原不等式即為f（x1）﹣λ ＜f（x2）﹣λ
對任意的a∈[ ， ]，x1 ， x2∈[1，2]恒成立，令g（x）=f（x）﹣ ，即有g（x1）＜g（x2），即為g（x）在[1，2]遞增，求出g（x）的導數，令導數大于等于0，再由一次函數的單調性可得只需 （2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0．即x3﹣7x2+6x+λ≥0對x∈[1，2]恒成立，令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，求出導數，求得單調區間和最小值，解不等式即可得到所求范圍．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．