Question

已知三棱錐的三視圖如圖所示．

（Ⅰ）求證：是直角三角形；
 求三棱錐是全面積；
（Ⅲ）當點在線段上何處時，與平面所成的角為．

Answer 1

1）根據視圖中所給的數據特證可以證明BC⊥面PAB，由線面垂直的性質證出BC⊥PB，由此證得三角形為直角三角形，（2）
（3）當為線段的中點時，與平面所成的角為

試題分析：解析：（Ⅰ）由三視圖可得：
由俯視圖知

，
故是以為直角頂點的直角三角形． 4分
（Ⅱ） 且
，，且
由（Ⅰ）知是直角三角形，故其面積為
故三棱錐的全面積為  8分
（Ⅲ）在面內過做的垂線,
以為原點， 所在直線分別為軸、軸 、軸建立空間直角坐標系，如圖所示
則
設為面的一個法向量,
則取
設，，


，故當為線段的中點時，與平面所成的角為……13分
點評：本題考點是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應用，主要考查三視圖與實物圖之間的關系，用三視圖中的數據還原出實物圖的數據，再根據相關的公式求表面積與體積，本題求的是四棱錐的體積，其公式為 ×底面積×高．三視圖的投影規則是：“主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”，三視圖是新課標的新增內容，在以后的高考中有加強的可能．用向量法求線面角是空間向量的一個重要運用，其步驟是：一、建立坐標系，表示出相應量的坐標，二、求出直線的方向向量以及面的法向量，三、利用公式表示線面角或者面面角的三角函數值求角．用向量解決幾何問題是新課標的新增內容，這幾年高考中此工具是一個常考常新的類型．