Question

【題目】定義在R上的函數y=f（x），恒有f（x）=f（2﹣x）成立，且f′（x）（x﹣1）＞0，對任意的x1＜x2 ， 則f（x1）＜f（x2）成立的充要條件是（ ）
A.x2＞x1≥1
B.x1+x2＞2
C.x1+x2≤2
D.x2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由f（x）=f（2﹣x），得函數關于x=1對稱．由f'（x）（x﹣1）＞0得，當x＞1時，f′（x）＞0，此時函數為增函數；當x＜1時，f′（x）＜0，此時函數f（x）為減函數，

①若x1＜x2，當1≤x1，函數為增函數，滿足對任意的x1＜x2，f（x1）＜f（x2），此時x1+x2＞2，

②若x1＜1，

∵函數f（x）關于x=1對稱，則f（x1）=f（2﹣x1），則2﹣x1＞1，

則由f（2﹣x1）=f（x1）＜f（x2），此時2﹣x1＜x2，即x1+x2＞2，

即對任意的x1＜x2，f（x1）＜f（x2）得x1+x2＞2，反之也成立，

即對任意的x1＜x2，f（x1）＜f（x2）是x1+x2＞2的充要條件，

所以答案是：B

【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．