Question

【題目】橢圓 的經過中心的弦稱為橢圓的一條直徑，平行于該直徑的所有弦的中點的軌跡為一條線段，稱為該直徑的共軛直徑，已知橢圓的方程為 .

（1）若一條直徑的斜率為 ，求該直徑的共軛直徑所在的直線方程；
（2）若橢圓的兩條共軛直徑為 和 ，它們的斜率分別為 ，證明：四邊形 的面積為定值.

Answer 1

【答案】
（1）解：設斜率為 的與直徑平行的弦的端點坐標分別為 ， ，
該弦中點為 ，則有 ， ，
相減得： ，
由于 ， ，且 ，所以得： ，
故該直徑的共軛直徑所在的直線方程為
（2）解：橢圓的兩條共軛直徑為 和 ，它們的斜率分別為 ，
四邊形 顯然為平行四邊形，設與 平行的弦的端點坐標分別為
則 ， ，而 ， ，
，故 ，
由 得 的坐標分別為 ，
故 ，同理 的坐標分別為 ，
設點 到直線 的距離為 ，四邊形 的面積為 ,
所以， ，
則 ，為定值
【解析】（1）考查中點弦問題 ，利用點差法求出直線方程 。
（2）設出直線方程，求出弦長,再求出點 C 到直線 A B 的距離為 d，求四邊形 A C B D 的面積為 S 。