Question

已知

a

=(1，2)，

b

=(-3，2)，
（1）求

a

-3

b

的坐標；
（2）當k為何值時，k

a

+

b

與

a

-3

b

垂直？．
（3）設向量

a

與

b

的夾角為θ，求cos2θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算即可求得答案；
（2）可求得k

a

+

b

與

a

-3

b

的坐標，利用（k

a

+

b

）•（

a

-3

b

）=0即可求得k的值；
（3）利用向量的坐標運算可求得向量

a

與

b

的夾角θ的余弦，再利用余弦函數(shù)的二倍角公式即可求得cos2θ的值．

解答：解：（1）

a

-3

b

=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）…4分
（2）k

a

+

b

=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），

a

-3

b

=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）…6分
由（k

a

+

b

）⊥（

a

-3

b

）得：
（k

a

+

b

）•（

a

-3

b

）=10（k-3）-4（2k+2）=2k-38=0，
k=19…8分
（3）依題意，cosθ=

1

65

，…10分
∴cos2θ=2cos²θ-1=-

63

65

…12分

點評：本題考查向量的坐標運算，考查數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系及二倍角的余弦，考查分析與運算能力，屬于中檔題．