Question

已知函數是定義在上的奇函數，當時，有（其中為自然對數的底，）．

（1）求函數的解析式；

（2）設，，求證：當時，；

（3）試問：是否存在實數，使得當時，的最小值是3？如果存在，求出實數的值；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）構造函數利用函數的最小值大于另一個函數的最大值來證明成立。

（3）當時，函數在區間上的最小值是3

【解析】

試題分析：解：（1）當時，，

則，

又是奇函數，

所以，

因此，；                  4分

（2）證明：令，

當時，注意到，所以 5分

①   當時，注意到，有

；      6分

② 當時，

，   7分

故函數在上是增函數，從而有，

所以當時，有，                         8分

又因為是偶函數，故當時，同樣有，即，

綜上所述，當時，有；                         9分

（2）證法二：當時，，

求導得，令得，                         5分

于是可得當時，；時，，

所以在處取得最大值，所以．     6分

又記，當時，有，          7分

求導得，當時，，

所以在上單調遞增，于是，

所以，在在上總有．               8分

注意到和的偶函數性質，

所以當時，有（）；     9分

（3）當時，，

求導得，令得，          10分

① 當時，，在區間上是增函數，故此時函數在區間上的最小值為，不滿足要求；               11分

② 當，即時，，

所以在區間上是增函數，此時函數在區間的最小值為，

令，得，也不滿足要求；                    12分

③ 當時，可得在區間上是減函數，在區間上是增函數，所以當時，，

令，得，滿足要求．                        13分

綜上可得，當時，函數在區間上的最小值是3．   14分

考點：導數的應用

點評：解決的關鍵是根據導數的符號于函數單調性的關系來判定單調性，進而得到最值，屬于基礎題