Question

設函數f_n（x）=2sin（a_nx+

π

6

）（a_n＞0，n∈N^*），其周期為n（n+1），S_n是數列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）求a_n，S_n的表達式；
（Ⅱ）設b_n=f_n（1），求{b_n}的最大、最小項的值；
（Ⅲ）在（2）的條件下，證明：b_n＜S_n．

Answer 1

考點：數列與三角函數的綜合,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：等差數列與等比數列,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用三角函數的周期直接求a_n，利用裂項法即可求解S_n的表達式；
（Ⅱ）利用b_n=f_n（1）求出b_n的表達式，判斷三角函數的相位的范圍，通過三角函數的最值，直接求{b_n}的最大、最小項的值；
（Ⅲ）在（2）的條件下，判斷數列{S_n}是增函數數列，然后證明：b_n＜S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知T=

2π

an

=n（n+1），
∴an=

2π

n(n+1)

，
∵an=

2π

n(n+1)

=2π(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=2π[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2π(1-

1

n+1

)．
（Ⅱ）b_n=f_n（1）=2sin（

2π

n(n+1)

+

π

6

），
當n=1時，b₁=2sin（π+

π

6

）=-1；
當n≥2時，

π

6

＜

2π

n(n+1)

+

π

6

≤

π

3

+

π

6

=

π

2

，
∴

1

2

＜sin（

2π

n(n+1)

+

π

6

）≤1
∴1＜b_n≤2，
{b_n}的最大、最小項的值分別為2，-1；
（Ⅲ）∵S_n=2π(1-

1

n+1

)，
∴Sn+1-Sn=2π(1-

1

n+2

)-2π(1-

1

n+1

)=2π(

1

n+1

-

1

n+2

)＞0
∴{S_n}是遞推數列，
∴{S_n}_min=S₁=π，
由于b_n＜2＜π≤S_n，
∴b_n＜S_n．

點評：本題考查三角函數的應用，數列的函數的特征，考查數列與三角函數以及不等式的證明，是綜合題目．