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(1) |
解析：(1)當x∈［－1，1］時，有｜f(x)｜＝｜f(x)－f(x)｜≤｜x－1｜＝1－x，因此x－1≤f(x)≤1－x． |
(2) |
函數g(x)滿足題設條件．驗證如下： g(－1)＝0＝g(1)；對任意u、v∈［0，1］時，｜g(u)－g(v)｜＝｜(1－u)，(1－v)｜＝｜u－v｜；當u、v∈［－1，0］，同理｜g(u)－g(v)｜＝｜u－v｜；當u·v＜0，不妨設u∈［－1，0］，u∈［0，1］，｜g(u)－g(v)｜＝｜(1－u)，(1－v)｜≤｜v－u｜． |
(3) |
假設存在f(x)滿足條件，則由f(－1)＝f(1)＝0 ①．又由于對任意u、v∈[－1，1]都有｜f(u)－f(v)｜＝｜u－v｜，所以｜f(1)－f(－1)｜＝｜1－(－1)｜＝2②．①與②矛盾，因此假設不成立，即這樣的函數不存在． 點評：本題是典型的存在性問題，對此一般都是從假設符合條件的“對象”存在開始探究． |
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源：中學教材標準學案 數學 高二上冊 題型：044
設y＝f(x)是定義在區間[－1，1]上的函數，且滿足條件：
①f(－1)＝f(1)＝0；
②對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．
(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；
(2)判斷函數g(x)＝
是否滿足題設條件；
(3)在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的函數y＝f(x)，且使得對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．
若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源：設計選修數學－1-2蘇教版 蘇教版 題型：044
(精典回放)設y＝f(x)是定義在區間[－1，1]上的函數，且滿足條件：①f(－1)＝f(1)＝0；②對任意的μ、v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|μ－v|
(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；
(2)證明：對任意的μ、v∈[－1，1]，都有
|f(u)－f(v)|≤1；
(3)在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數y＝f(x)，且使得：
|f(μ)
－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[0，
]．
|f(μ)
－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[，1]．
若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源：泰州市2006～2007學年度第一學期期末聯考高3數學試題 題型：022
設y＝f(x)是定義在R上的函數，給定下列三個條件：(1)y＝f(x)是偶函數；(2)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱；(3)T＝2為y＝f(x)的一個周期．如果將上面(1)、(2)、(3)中的任意兩個作為條件，余下一個作為結論，那么構成的三個命題中真命題的個數有________個．
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科目：高中數學 來源：江西省遂川中學2008屆高三第一次月考數學試卷(理) 題型：044
設y＝f(x)是定義在R上的函數，如果存在A點，對函數y＝f(x)的圖像上任意點P，P關于點A的對稱點Q也在函數y＝f(x)的圖像上，則稱函數y＝f(x)關于點A對稱，A稱為函數f(x)的一個對稱點．對于定義在R上的函數f(x)，可以證明點A(a，b)是f(x)圖像的一個對稱點的充要條件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．
(1)求函數f(x)＝x3＋3x2圖像的一個對稱點；
(2)函數
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科目：高中數學 來源：天津市新人教A版數學2012屆高三單元測試8：奇偶性及周期性 新人教A版 題型：044
設y＝f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于x＝1對稱，對任意的
，都有
，且f(1)＝a＞0
(1)求
；
(2)證明：y＝f(x)是周期函數．
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，是否滿足題設條件