Question

設y＝f(x)是定義在區間[－1，1]上的函數，且滿足條件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)判斷函數g(x)＝是否滿足題設條件；

(3)在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的函數y＝f(x)，且使得對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：由題設條件可知，當x∈[－1，1]時，有|f(x)|＝|f(x)－f(1)|≤|x－1|＝1－x，即x－1≤f(x)≤1－x． 　　(2)答：函數g(x)滿足題設條件．驗證如下：g(－1)＝0＝g(1)． 　　對任意u，v∈[－1，1]， 　　當u，v∈[0，1]時，有|g(u)－g(v)|＝|(1－u)－(1－v)|＝|u－v|； 　　當u，v∈[－1，0]時，同理有|g(u)－g(v)|＝|u－v|； 　　當u·v＜0時，不妨設u∈[－1，0)，v∈(0，1]，有|g(u)－g(v)|＝|(1＋u)－(1－v)|＝|u＋v|≤|v－u|＝|u－v|． 　　所以，函數g(x)滿足題設條件． 　　(3)答：這樣的函數不存在．理由如下： 　　假設存在f(x)滿足條件，則由f(－1)＝f(1)＝0得 　　|f(1)－f(－1)|＝0．　　① 　　由于對任意u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|， 　　所以，|f(1)－f(－1)|＝|1－(－1)|＝2．　　② 　　①與②矛盾，因此假設不成立，即這樣的函數不存在．