Question

列三角形數表
1-----------第一行
2    2-----------第二行
3   4    3-----------第三行
4   7    7   4-----------第四行
5   11  14  11   5
…
…
假設第n行的第二個數為a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）依次寫出第六行的所有數字；
（2）歸納出a_n+1與a_n的關系式并求出a_n的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據三角形數表，兩側數為從1開始的自然數列，中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和的規律寫出來．
（2）依據“中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和”則第二個數等于上一行第一個數與第二個數的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．

解答：解：（1）第六行的所有6個數字分別是：
6，16，25，25，16，6；
（2）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），
a₂=2a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2+3+…+（n-1）=2+

(n-2)(n+1)

2

，
所以 a_n=

1

2

n²-

1

2

n+1．（n≥2）．

點評：本題通過三角數表構造了一系列數列，考查了數列的通項及求和的方法，還考查了數列間的關系，入題較難，知識點，方法活，屬中檔題．