Question

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（Ⅰ）求的極值點；
（Ⅱ）當時，若方程在上有兩個實數解，求實數t的取值范圍；
(Ⅲ）證明：當時，。

Answer 1

（Ⅰ）①時，， ∴在（－1，+∞）上是增函數，函數既無極大值點，也無極小值點；②當時，在上遞增，在單調遞減，函數的極大值點為－1，無極小值點；③當時，在上遞減，在單調遞增，函數的極小值點為－1，無極大值點；（Ⅱ）當時，方程有兩解；(Ⅲ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）求的極值點，先求函數的定義域為，然后可對函數求導數得，令導數等零，求出的解，再利用導數大于0，導數小于0，判斷函數的單調區間，從而確定極值點，但本題由于含有參數，需對討論（Ⅱ）當時，若方程在上有兩個實數解，求實數t的取值范圍，由（Ⅰ）知，在上單調遞增，在上單調遞減，而，由此可得實數t的取值范圍；（Ⅲ）根據要證明當時，，直接證明比較困難，可以利用分析法來證明本題，從結論入手，要證結論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數，構造函數，問題轉化為只要證明函數在一個范圍上成立，利用導數證明函數的性質．
試題解析：（Ⅰ）（1分）
①時，， ∴在（－1，+∞）上是增函數，函數既無極大值點，也無極小值點。（2分）
②當時，在上遞增，在單調遞減，函數的極大值點為－1，無極小值點（3分）
③當時，在上遞減，在單調遞增，函數的極小值點為－1，無極大值點（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調遞增，在上單調遞減，
又，
∴，∴當時，方程有兩解 （8分）
(Ⅲ）要證：只須證
只須證：，
設
則，（10分）
由（1）知在單調遞減，（12分）
∴，即是減函數，而m>n，
∴，故原不等式成立。 （14分）