Question

已知函數．
（1）證明函數在區間上單調遞減；
（2）若不等式對任意的都成立，（其中是自然對數的底數），求實數的最大值．

Answer 1

（1）函數在區間上單調遞減；（2）.

試題分析：（1）對原函數進行求導，難易判斷正負，再令，并求導，從而判斷出在上單調遞減，∴，即，所以函數在區間上單調遞減；（2）對不等式兩邊進行取對數，分離出參數，構造函數并求導，在令分子為一個新的函數求導，并利用（1）得時，，所以函數在上單調遞減，∴
所以，所以函數在上單調遞減.所以，所以函數在上最小值為，即，則的最大值為.
試題解析：（1），令，
，所以函數在上單調遞減，∴，
∴，∴函數在區間上單調遞減.
（2）在原不等式兩邊取對數為，由知
設
，
設，
，
由（1）知時，，
∴函數在上單調遞減，∴
∴，∴函數在上單調遞減.
∴，
∴函數在上最小值為，即
∴的最大值為.