Question

如圖所示,已知圓C與y軸相切于點T(0,2),與x軸正半軸相交于兩點M,N(點M在點N的右側),且|MN|=3,已知橢圓D:+=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且過點（,）.

(1)求圓C和橢圓D的方程;
(2)若過點M斜率不為零的直線l與橢圓D交于A、B兩點,求證:直線NA與直線NB的傾斜角互補.

Answer 1

（1）（x-）²+(y-2)²= +=1  （2）見解析

(1)解:設圓的半徑為r,由題意,圓心為(r,2),
因為|MN|=3,
所以r²=（）²+2²=,r=,
故圓C的方程是（x-）²+(y-2)²=           ①
在①中,令y=0解得x=1或x=4,
所以N(1,0),M(4,0).
由得c=1,a=2,
故b²=3.
所以橢圓D的方程為+=1.
(2)證明:設直線l的方程為y=k(x-4).
由
得(3+4k²)x²-32k²x+64k²-12=0                    ②
設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
則x₁+x₂=,x₁x₂=.
當x₁≠1,x₂≠1時,
k_AN+k_BN=+
=+
=k·
=·[2x₁x₂-5(x₁+x₂)+8]
=·
=0.
所以k_AN=-k_BN,
當x₁=1或x₂=1時,k=±,
此時,對方程②,Δ=0,不合題意.
所以直線AN與直線BN的傾斜角互補.