Question

已知：對于數列{a_n}，定義{△a_n}為數列{a_n}的一階差分數列，其中△a_n=a_n+1-a_n，
（1）若數列{a_n}的通項公式an=

5

2

n2-

3

2

n（n∈N^*），求：數列{△a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}的首項是1，且滿足△a_n-a_n=2ⁿ，
①設bn=

an

2n

，求證：數列{b_n}是等差數列，并求數列{b_n}的通項公式；
②求：數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）直接把an=

5

2

n2-

3

2

n代入△a_n=a_n+1-a_n，整理即可求出數列{△a_n}的通項公式；
（2）①先利用△a_n-a_n=2ⁿ得到a_n+1=2a_n+2ⁿ．再利用等差數列的定義來證明數列{b_n}是等差數列即可，進而求出數列{b_n}的通項公式；
②由上面求出的結論，直接代入可以得到數列{a_n}的通項公式，再利用數列求和的錯位相減法求和即可．

解答：解：（1）依題意△a_n=a_n+1-a_n，
∴△a_n=[

5

2

（n+1）²-

3

2

（n+1）]-[

5

2

n2-

3

2

n]=5n+1
（2）①由△a_n-a_n=2ⁿ?a_n+1-a_n-a_n=2ⁿ?a_n+1=2a_n+2ⁿ．
∵bn=

an

2n

，
∴b_n+1-b_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n

2n+1

=

1

2

，且b1=

a1

2

=

1

2

，
故{b_n}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數列
∴b_n=

n

2

②∵bn=

an

2n

，
∴a_n=

n

2

•2n=n•2^n-1
∴s_n=1•2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1（1）　　　
2s_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ（2）
（1）-（2）得-s_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ
∴s_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1
=（n-1）2ⁿ+1．

點評：本題是在新定義下對等差數列的知識以及錯位相減法求和的考查，主要考查運算能力．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．