Question

已知：對(duì)于數(shù)列{a_n}，定義{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△a_n=a_n+1-a_n，
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（n∈N^*），求：數(shù)列{△a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)是1，且滿足△a_n-a_n=2ⁿ，
①設(shè)，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
②求：數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（1）依題意△a_n=a_n+1-a_n，
∴△a_n=[（n+1）²-（n+1）]-[n]=5n+1
（2）①由△a_n-a_n=2ⁿ?a_n+1-a_n-a_n=2ⁿ?a_n+1=2a_n+2ⁿ．
∵，
∴b_n+1-b_n===，且，
故{b_n}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列
∴b_n=
②∵，
∴a_n==n•2^n-1
∴s_n=1•2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1（1）　　　
2s_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ（2）
（1）-（2）得-s_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=-n•2ⁿ
∴s_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1
=（n-1）2ⁿ+1．
分析：（1）直接把代入△a_n=a_n+1-a_n，整理即可求出數(shù)列{△a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）①先利用△a_n-a_n=2ⁿ得到a_n+1=2a_n+2ⁿ．再利用等差數(shù)列的定義來(lái)證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列即可，進(jìn)而求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
②由上面求出的結(jié)論，直接代入可以得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法求和即可．
點(diǎn)評(píng)：本題是在新定義下對(duì)等差數(shù)列的知識(shí)以及錯(cuò)位相減法求和的考查，主要考查運(yùn)算能力．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．