Question

一個(gè)口袋中裝有大小相同的個(gè)紅球（且）和個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球的顏色不同則為中獎(jiǎng)。
（Ⅰ）試用表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）記從口袋中三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為，求的最大值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，將個(gè)白球全部取出后，對(duì)剩下的個(gè)紅球全部作如下標(biāo)記：記上號(hào)的有個(gè)（），其余的紅球記上號(hào)，現(xiàn)從袋中任取一球。表示所取球的標(biāo)號(hào)，求的分布列、期望和方差.

Answer 1

（1）；（2）n=20時(shí)，m的最大值為4/9；
（3），.

第一問中，利用一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任取兩個(gè)，有種方法。它們是等可能的，其中兩個(gè)球的顏色不同的方法有種，故一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為．
第二問中，
設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為，三次摸獎(jiǎng)中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是：
利用導(dǎo)數(shù)的思想求解最值。
第三問中，由（Ⅱ）知：記上0號(hào)的有10個(gè)紅球，從中任取一球，有20種取法，它們是等可能的．故的可能取值為0，1,2,3,4求解各個(gè)概率值，然后求解期望和方差即可。
解:（Ⅰ）一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任取兩個(gè)，有種方法。
它們是等可能的，其中兩個(gè)球的顏色不同的方法有種，
一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為．       ………5分
（Ⅱ）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為，三次摸獎(jiǎng)中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是：
      ………  6分
m對(duì)p的導(dǎo)數(shù)
因而m在上為增函數(shù)，m在上為減函數(shù)。    ………8分
∴當(dāng)p=1/3，即，n=20時(shí)，m的最大值為4/9．    ………  10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：記上0號(hào)的有10個(gè)紅球，從中任取一球，有20種取法，它們是等可能的．故的分布列是：

p

…12分
．       ………14分
．……..15分