Question

21、已知|

EF

|=2c，|

EF

|=2a（a＞c），2

EH

=

EG

，2

EO

=

EF

，

HP

•

EG

=0（G為動點）（a＞c）．
（1）建立適當的平面直角坐標系，求出點P的軌跡方程；
（2）若點P的軌跡上存在兩個不同的點A、B，且線段AB的中垂線與EF（或EF的延長線）有唯一的交點C，證明：|

OC

|＜

c2

a

．

Answer 1

（1）|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a（＞|EF|），∴點P的軌跡為橢圓
∴軌跡方程為

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．A，B的中點M（x₀，y₀），C（t，0）．
當k_CM不存在時，顯然成立．
當k_CM存在時，k_CM=

y0

x0-t

．由“點差法”得：kAB=-

a2-c2

a2

•

x0

y0

∵k_AB•k_CM=-1.x0=

a2-t

c2

∵|x0|＜a∴|

a2-t

c2

|＜a∴|t|＜

c2

a

即|

OC

|＜

c2

a

．