Question

（2012•瀘州一模）甲、乙、丙三個同學同時報名參加某重點高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序為面試和文化測試，只有面試通過后才能參加文化測試，文化測試合格者即獲得自主招生入選資格．因為甲、乙、丙三人各有優勢，甲、乙、丙三人面試通過的概率分別為0.5，0.6，0.4；面試通過后，甲、乙、丙三人文化測試合格的概率分別為0.6，0.5，0.75．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人中只有一人通過面試的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人各自獲得自主招生入選資格的概率．
（Ⅲ）求甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，甲、乙、丙三人中只有一人通過包括三種情況，這三種情況是互斥的，根據相互獨立事件同時發生的概率寫出每一種情況發生的概率，得到結果．
（Ⅱ）根據相互獨立事件同時發生的概率公式，可求甲、乙、丙三人各自獲得自主招生入選資格的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數為ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，結合變量對應的事件和相互獨立事件同時發生的概率，寫出變量的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，甲、乙、丙三人中只有一人通過包括三種情況，這三種情況是互斥的，
分別記甲、乙、丙通過審核為事件A₁，A₂，A₃，則
P=P（A₁•

.

A2

•

.

A3

）+P（

.

A1

•A₂•

.

A3

）+P（

.

A1

•

.

A2

•A₃）=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38
（Ⅱ）∵甲、乙、丙三人面試通過的概率分別為0.5，0.6，0.4；面試通過后，甲、乙、丙三人文化測試合格的概率分別為0.6，0.5，0.75，
∴甲獲得自主招生入選資格的概率為0.5×0.6=0.3；
乙獲得自主招生入選資格的概率為0.6×0.5=0.3
丙獲得自主招生入選資格的概率為0.4×0.75=0.3
（Ⅲ）甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數為ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-0.3）³=0.343；P（ξ=1）=3×（1-0.3）²×0.3=0.441；P（ξ=2）=3×0.3²×0.7=0.189
P（ξ=3）=0.3³=0.027
∴ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查利用概率知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．