Question

（2012•瀘州一模）已知函數f（x）=2sinωx（

3

cosωx-sinωx）（ω＞0，x∈R）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為

3 3

4

，b=

3

，f（B）=1，求a、c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）=2sinωx（

3

cosωx-sinωx）化簡為f（x）=2sin（2ωx+

π

6

）-1，由其最小正周期為π可求ω的值；
（Ⅱ）由f（B）=1，可求得B=

π

6

，再結合已知條件利用余弦定理，通過解關于a，c的方程組即可求得a，c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinωx（

3

cosωx-sinωx）
=

3

sin2ωx+cos2x-1
=2sin（2ωx+

π

6

）-1，
∵ω＞0，f（x）的最小正周期為π，
∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=1；
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，
（Ⅱ）∵在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，b=

3

，f（B）=1，
∴2sin（2B+

π

6

）-1=1，
∴sin（2B+

π

6

）=1．又0＜B＜π，
∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

13π

6

，
∴2B+

π

6

=

π

2

，解得B=

π

6

．
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

ac×

1

2

=

3 3

4

，
∴ac=3

3

．①
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即a²+c²-2ac×

3

2

=(

3

)2，
∴a²+c²=12．②
∴

ac=3 3 a2+c2=12

解得：a=

3

，c=3或a=3，c=

3

．

點評：本題考查解三角形，著重考查三角函數中的恒等變換應用及正弦定理與余弦定理，體現化歸思想與方程思想的作用，屬于中檔題．