Question

【題目】某糧庫擬建一個儲糧倉如圖所示，其下部是高為2的圓柱，上部是母線長為2的圓錐，現要設計其底面半徑和上部圓錐的高，若設圓錐的高為，儲糧倉的體積為.

（1）求關于的函數關系式；（圓周率用表示）

（2）求為何值時，儲糧倉的體積最大.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題圓錐和圓柱的底面半徑， 可得儲糧倉的體積， .

（Ⅱ）利用導數求（Ⅰ）中的函數最值即可.

試題解析：（Ⅰ）∵圓錐和圓柱的底面半徑， ∴.

∴，即， .

（Ⅱ），令 ，

解得， .又，∴（舍去）.

當變化時， 的變化情況如下表：

故當時，儲糧倉的體積最大.

點晴：研究數學模型，建立數學模型，進而借鑒數學模型，對提高解決實際問題的能力，以及提高數學素養都是十分重要的．建立模型的步驟可分為： (1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示； (2) 根據所給條件，運用數學知識，確定等量關系； (3) 寫出f(x)的解析式并指明定義域.