Question

如圖，已知等腰梯形ABCQ，AB∥CQ，CQ=2AB=2BC=4，D是CQ的中點，∠BCQ=60°，將△QDA沿AD折起，點Q變為點P，使平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求證：BC∥平面PAD；
（2）求證：△PBC是直角三角形；
（3）求三棱錐P-BCD的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證BC∥平面PAD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證BC與平面PAD內一直線平行，易證ABCD是平行四邊形，則BC∥AD．又BC?平面PAD，AD?平面PAD，滿足定理所需條件；
（2）由題意可知ABCD是菱形，取AD中點E，連PE，BE，根據面面垂直的性質定理可知PE⊥平面ABCD，則PE⊥BC．又BC∥AD，從而BC⊥BE．又PE∩BE=E，根據線面垂直的判定定理可知BC⊥平面PEB，則BC⊥PB，從而得到結論；
（3）先求出PE，三角形BCD的面積，然后利用三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答：解：（1）證明：∵AB∥CQ，D是CQ的中點，
∴AB∥CD，AB=CD，∴ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD．
又∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD．
（2）∵∠BCQ=60°，AB=BC，
∴ABCD是菱形，∴△PDA，△BDA均為等邊三角形．
取AD中點E，連PE，BE．∴PE⊥AD，BE⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，
∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC．
又∵BC∥AD，∴BC⊥BE．又∵PE∩BE=E，
∴BC⊥平面PEB，∴BC⊥PB．
∴△PBC是直角三角形．
（3）∵PE=

3

2

AD=

3

，s△BCD=

3

4

×22=

3

．
∴VP-BCD=

1

3

S△BCD•PE=

1

3

×

3

×

3

=1，
∴三棱錐P-BCD的體積為1．

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的性質和三棱錐體積的計算，同時考查了空間想象能力、轉化與劃歸的思想，屬于基礎題．