Question

如圖，已知ABCD是底角為30°的等腰梯形，AD=2

3

，BC=4

3

，取兩腰中點M、N分別交對角線BD、AC于G、H，則

AG

•

AC

=（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：以BC所在直線為x軸，B為原點建立如圖直角坐標系，可得A、B、C、D各點的坐標．利用梯形的中位線定理，結合題中數據算出G（

3 3

2

，

1

2

），從而得到向量

AG

=（

3

2

，-

1

2

），再求出向量

AC

的坐標，利用向量數量積的坐標公式，即可算出

AG

•

AC

的值．

解答：解：以BC所在直線為x軸，B為原點建立如圖直角坐標系
可得A（

3

，1），B（0，0），C（4

3

，0）
D（3

3

，1）
∵MN是梯形ABCD的中位線
∴設G（m，

1

2

）
由

BG

=（m，

1

2

），

BD

=（3

3

，1）且

BG

∥

BD

可得m×1=

1

2

×3

3

，解得m=

3 3

2

，G（

3 3

2

，

1

2

）
由此可得

AG

=（

3

2

，-

1

2

），
∵

AC

=（3

3

，-1），∴

AG

•

AC

=

3

2

×3

3

+（-

1

2

）•（-1）=5
故選：C

點評：本題給出底角為30度的等腰梯形，求數量積

AG

•

AC

的值．著重考查了向量的坐標運算、向量平行的條件和向量數量積的運算公式等知識，屬于中檔題．