Question

汶川大地震后，為了消除某堰塞湖可能造成的危險(xiǎn)，救授指揮部商定，給該堰塞湖挖一個(gè)橫截面為等腰梯形的簡易引水槽（如圖所示）進(jìn)行引流，已知等腰梯形的下底與腰的長度都為a，且水槽的單位時(shí)間內(nèi)的最大流量與橫載面的面積為正比，比例系數(shù)k＞0．
（1）試將水槽的最大流量表示成關(guān)于θ的函數(shù)f（θ）；
（2）為確保人民的生命財(cái)產(chǎn)安全，請你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使單位時(shí)間內(nèi)水槽的流量最大（即當(dāng)θ為多大時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)水槽的流量最大）．

Answer 1

分析：（1）利用三角形面積公式表示出水槽的最大流量，注意變量角的取值范圍；
（2）利用（1）中的函數(shù)式，借助導(dǎo)數(shù)知識求出函數(shù)的最值，即將設(shè)計(jì)方案問題轉(zhuǎn)化成最優(yōu)化問題（最值）解決．

解答：解：（1）設(shè)水槽的橫截面面積為s，
則s=

1

2

[a+(a+2acosθ)]•asinθ=a2sinθ(1+cosθ).
所以f(θ)=ks=a2ksinθ(1+cosθ)，θ∈(0，

π

2

).
（2）因?yàn)閒'（θ）=a²k（2cos²θ+cosθ-1），
令f'（θ）=0，則2cos²θ+cosθ-1=0．
解得cosθ=

1

2

或cosθ=-1，
由0＜θ＜

π

2

知cosθ≠-1，所以cosθ=

1

2

，θ=

π

3

.
當(dāng)0＜θ＜

π

3

時(shí)，f'（θ）＞0，即f（θ）在(0，

π

3

)上遞增，
當(dāng)

π

3

＜θ＜

π

2

時(shí)，f'（θ）＜0，即f（θ）在(

π

3

，

π

2

)上遞減，
所以當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，水槽的流量最大，
即設(shè)計(jì)成θ=

π

3

的等腰梯形引水槽，可使單位時(shí)間內(nèi)水槽的流量最大．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、解三角形知識和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．