Question

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法確認(rèn)，假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以表示．
 
（Ⅰ）若甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，求的值；
（Ⅱ）求乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列詳見(jiàn)解析，期望.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)甲乙平均成績(jī)相等列等式，得，可求的值為1；（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c0/5/ii7uq1.png" style="vertical-align:middle;" />的取值具有隨機(jī)性，故，有10種可能，而乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)，共有8種可能，故所求事件的概率為；（Ⅲ）從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績(jī)結(jié)果有種，分別計(jì)算每組兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值，以確定的取值，并分別求取相應(yīng)值的概率，寫(xiě)出分布列并求期望.
試題解析：（Ⅰ）解：依題意，得 ，解得 .
（Ⅱ）解：設(shè)“乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)”為事件，依題意 ，共有10種可能.
由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，所以當(dāng)時(shí)，乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)，共有8種可能．所以乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率．
（Ⅲ）解：當(dāng)時(shí)，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績(jī)結(jié)果有種， 它們是：，，，，，，，，
則這兩名同學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值的所有取值為.
因此，，，，.
所以隨機(jī)變量的分布列為：

	0	1	2	3	4

所以的數(shù)學(xué)期望．
考點(diǎn)：1、平均數(shù)；2、古典概型；3、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望.