Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx的圖象關于點（1，1）對稱，給出下列命題：
①f（x）在R上單調遞增；
②f（x）在R上有極值；
③函數y=f（x+1）-1是奇函數；
④函數y=f（x）-x必有三個零點．則其中假命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：利用圖象的對稱性解得a、b的值，利用導數判斷函數的單調性及極值，得出①正確，②錯誤；
根據函數奇偶性的定義判斷③正確，根據二次函數根的判斷可得④錯誤．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+bx的圖象關于點（1，1）對稱，
∴2-f（x）=（2-x）³+a（2-x）²+b（2-x），
即f（x）=x³-（a+6）x²+（b+4a+12）x-4a-2b，
比較系數得

-(a+6)=a b+4a+12=b -4a-2b=0

解得

a=-3 b=6

∴f（x）=x³-3x²+6x，
∴f′（x）=3x²-6x+6=3（x-1）²+3＞0，f（x）在R上單調遞增，故①正確，②錯誤；
由y=f（x+1）-1=x³+3x+3得y=f（x+1）-1是奇函數，故③正確，
由y=f（x）-x=x（x²-3x+5）得，令g（x）=x²-3x+5則△=9-20=-11＜0，
∴x（x²-3x+5）=0有且只有一解x=0，故④錯誤．
故答案為②④．

點評：本題主要考查函數的對稱性、單調性、極值、奇偶性、零點的判斷方法，是對函數性質的綜合考查，屬中檔題．