Question

如圖，已知拋物線y²=4x的焦點為F．過點P（2，0）的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）記直線MN的斜率為k₁，直線AB的斜率為k₂．證明：

k1

k2

為定值．

Answer 1

（Ⅰ）依題意，設直線AB的方程為x=my+2．
將其代入y²=4x，消去x，整理得y²-4my-8=0．
從而y₁y₂=-8．
（Ⅱ）證明：設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．
則

k1

k2

=

y3-y4

x3-x4

×

x1-x2

y1-y2

=

y3-y4

y32 4 - y42 4

×

y12 4 - y22 4

y1-y2

=

y1+y2

y3+y4

．
設直線AM的方程為x=ny+1，將其代入y²=4x，消去x，
整理得y²-4ny-4=0．
所以y₁y₃=-4．
同理可得y₂y₄=-4．
故

k1

k2

=

y1+y2

y3+y4

=

y1+y2

-4 y1 + -4 y2

=

y1y2

-4

．
由（Ⅰ）得

k1

k2

=2，為定值．