Question

如圖1所示，在邊長為12的正方形ADD₁A₁中，點B，C在線段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁D₁，AD₁于點B₁，P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁D₁，AD₁于點C₁，Q，將該正方形沿BB₁，CC₁折疊，使得DD₁與AA₁重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCQP的體積；
（Ⅲ）求平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明直線與平面垂直，關鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．在這個“折疊問題”中，要把握好不變的長度關系、線線關系、線面關系，比如：AB=3，BC=4，AC=5，所以AB⊥BC；四邊形ADD₁A₁為正方形，AA₁∥BB₁，所以AB⊥BB₁．
（Ⅱ）本題的兩問是遞進式的，第（1）問是為第（2）問作鋪墊的．因為AB⊥平面BCC₁B₁，所以AB為四棱錐A-BCQP的高，并且四邊形BCQP為直角梯形．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，AB，BC，BB₁兩兩互相垂直．以B為原點，分別以BC、BB₁、BA為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz，這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．

解答：（Ⅰ）證明：在正方形ADD₁A₁中，因為CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的邊AC=5．
因為AB=3，BC=4，
所以AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC．（2分）
因為四邊形ADD₁A₁為正方形，AA₁∥BB₁，
所以AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BCC₁B₁．（5分）
（Ⅱ）解：因為AB⊥平面BCC₁B₁，
所以AB為四棱錐A-BCQP的高．
因為四邊形BCQP為直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面積為SBCQP=

1

2

(BP+CQ)×BC=20．
所以四棱錐A-BCQP的體積VA-BCQP=

1

3

SBCQP×AB=20．（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，AB，BC，BB₁兩兩互相垂直．以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz，

則A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），
所以

AP

=(0，3，-3)，

AQ

=(4，7，-3)，
設平面PQA的一個法向量為n₁=（x，y，z）．
則

n1• AP =0 n1• AQ =0.

即

3y-3z=0 4x+7y-3z=0.

令x=-1，則y=z=1．
所以n₁=（-1，1，1）．（12分）
顯然平面BCA的一個法向量為n₂=（0，1，0）．
設平面PQA與平面BCA所成銳二面角為θ．
則cosθ=cos＜n1，n2＞=

n 1•n2

|n1||n2|

=

3

3

．
所以平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值為

3

3

．（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力