Question

如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分別交BB₁，CC₁于點P、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A′A′₁與AA₁重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，請在圖2中解決下列問題：
（1）求證：AB⊥PQ；
（2）在底邊AC上有一點M，滿足AM；MC=3：4，求證：BM∥平面APQ．
（3）求直線BC與平面APQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥BC．AB⊥BB_1，得AB⊥平面BC₁，易得AB⊥PQ；
（2）過M作MN∥CQ交AQ于N，連接PN，由PB∥CQ得MN∥PB，從而四邊形PBMN為平行四邊形，對邊平行BM∥PN，由線面平行的判定定理得BM∥平面APQ；
（3）先求得各點的坐標，從而得出相應向量的坐標，再求出平面APQ的法向量，由線面角公式求解．

解答：解：證明：（1）證明：因為AB=3，BC=4，
所以AC=5，從而AC²=AB²+BC²，
即AB⊥BC．（2分）
又因為AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BC₁，又PQ?平面BC₁
所以AB⊥PQ；（4分）

（2）解：過M作MN∥CQ交AQ于N，連接PN，
因為AM：MC=3：4∴AM：AC=MN：CQ=3：7（6分）
∴MN=PB=3，∵PB∥CQ∴MN∥PB，∴四邊形PBMN為平行四邊形∴BM∥PN，所以BM∥平面APQ（8分）

（3）解：由圖1知，PB=AB=3，QC=7，分別以BA，BC，BB₁為x，y，z軸，
則A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7）

BC

=(0，4，0)，

AP

=(-3，0，3)，

AQ

=(-3，4，7)（10分）
設平面APQ的法向量為

n

=(a，b，c)，
所以

n • AP =0 n • AQ =0

得

-3a+3c=0 -3a+4b+7c=0

，
令a=1，則c=1，b=-1，cos＜

BC

，

n

＞=

BC • n

| BC || n |

=

-4

4× 3

=-

3

3

所以直線BC與平面APQ所成角的正弦值為

3

3

（12分）
（注）用其他解法可相應給分．

點評：本題主要考查線與線，線與面，面與面的位置關系和線面平行和線面垂直的判定定理及空間向量的應用，培養學生轉化的能力．