Question

如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A₁′A₁中，點B，C在線段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁A₁′、AA₁′于點B₁、P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁A₁′、AA₁′于點C₁、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A′A₁′與AA₁重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求證：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下兩部分幾何體的體積之比．

Answer 1

分析：（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，要證：AB⊥平面BCC₁B₁；只需證明AB垂直平面內的兩條相交直線，BC和BB₁即可．
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下兩部分幾何體的體積之比，先求下部四棱錐的體積，再求棱柱的體積，然后求出兩部分體積比．

解答：（1）證明：在正方形AA′A₁′A₁中，
因為A′C=AA′-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的邊AC=5．
因為AB=3，BC=4，所以AB²+BC²=AC²．所以AB⊥BC．
因為四邊形AA′A₁′A₁為正方形，BB₁∥AA₁，所以AB⊥BB₁．
而BC∩BB₁=B，BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，
所以AB⊥平面BCC₁B₁．（7分）
（2）解：因為AB⊥平面BCC₁B₁，所以AB為四棱錐A-BCQP的高．
因為四邊形BCQP為直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面積為S_BCQP=

1

2

（BP+CQ）×BC=20．
所以四棱錐A-BCQP的體積V_A-BCQP=

1

3

S_BCQP×AB=20．
由（1），知BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，且AB∩BC=B，AB?平面ABC，BC?平面ABC．
所以BB₁⊥平面ABC．所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直棱柱．
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V_ABC-A1B₁C₁=S_△ABC×BB₁=72．
故平面APQ將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下兩部分的體積之比為

72-20

20

=

13

5

（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直，棱錐、棱柱的體積求法，考查空間想象能力，是中檔題．