Question

【題目】已知（，是自然對數的底數）.

（1）求函數的單調區間；

（2）曲線在、處的切線平行，線段的中點為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）的單調增區間是，的單調減區間是，.（2）見解析

【解析】

（1）先求導，再根據導數和函數單調性的關系即可求出單調區間，

（2）由題意可得，即，再根據基本不等式可得．即可證明，再根據函數的單調性可得，

設，，根據導數和函數的最值即可證明

解：（1）由函數得，，且.

∵，∴.

由不等式得，由不等式得，或.

所以的單調增區間是，的單調減區間是，.

（2）因曲線在、處的切線平行，

所以，即，

∴，

∴，即.

∵，即

∴.∴.

由（1）知，在區間上遞增，在區間遞減，且.

所以，當時，.

∴.

設，當時，.

令，∴，即，

∴，即，

∴函數在區間上單調遞增，∴.

∴在區間上單調遞增.

當時，.

所以，.