Question

【題目】如圖，已知三棱柱中，側棱與底面垂直，且，，、分別是、的中點，點在線段上，且.

（1）求證：不論取何值，總有；

（2）當時，求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，求出向量和的坐標，通過可證明出；

（2）分別求出平面的一個法向量和平面的法向量，由此利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，，.

（1），，

，

.

，，

因此，無論取何值，；

（2）當時，，，，

而平面的法向量，設平面的法向量為，

則，解得，則，

設為平面與平面所成的銳二面角，則.

因此，平面與平面所成二面角的余弦值是.