Question

【題目】如圖，多面體中，面為矩形，面面，.

（1）求證：面面；

（2）已知多面體各頂點均在同一球面上，且該球的表面積為，，當這個多面體的體積取得最大值時求其側視圖的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）由已知面面垂直得線面垂直，從而得線線垂直，再結合已知線線垂直得線面垂直，證得面面垂直；

（2）找出球心為與的交點，由球面積求出直徑的長，得，可得多面體的體積取得最大值時，到的距離取最大值，從而易得側視圖面積．

（1）面為矩形，面面，，面面，

∴平面，∴，又，

∴平面．又平面，

∴面面．

（2）設與交于點，是中點，連接，則，從而平面主，是外心，∴是多面體中外接球球心，

由，得，又，

∴．又，為直角三角形，

∴當斜邊上的高等于時，體積取得最大值.

此時其側視圖也為直角三角形，面積為．