Question

已知函數的圖像經過點A(0，0)，B(3，7)及C，為數列 的前n項和
（I）求
（II）若數列滿足，求數列的前n項和

Answer 1

（I）S_n＝2ⁿ－1（n∈N^*a_n＝2^n－1（n∈N^*）．（II）＝6（n－1）·2^n＋1－＋12

本試題主要是考察了數列的通項公式和前n項和的關系式的運用。
（1）因為函數的圖像經過點A(0，0)，B(3，7)及C，則可以得到 f （x）＝2^x－1，∴S_n＝2ⁿ－1（n∈N^*），從而得到通項公式。
（2）由（1）知c_n＝12na_n－n＝6n×2ⁿ－n．，結合錯位相減法得到和式
（I）由，得，           ……2分
∴f （x）＝2^x－1，∴S_n＝2ⁿ－1（n∈N^*）．……3分
∴當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1． ………4分
當n＝1時， S₁＝a₁＝1符合上式．                            ………5分
∴a_n＝2^n－1（n∈N^*）．                      ………6分
（II）由（1）知c_n＝12na_n－n＝6n×2ⁿ－n． ………8分
從而T_n＝6（1×2＋2×2²＋…＋n×2ⁿ）－（1＋2＋…＋n）
錯位相減法得：＝6（n－1）·2^n＋1－＋12．