Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點，M為AH中點，PA=AC=2，BC=1．

（Ⅰ）求證：AH⊥平面PBC；

（Ⅱ）求PM與平面AHB成角的正弦值；

(Ⅲ)在線段PB上是否存在點N，使得MN∥平面ABC，若存在，請說明點N的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）點N是靠近B點的四等分點

【解析】

（Ⅰ）根據線面垂直判定與性質定理進行論證，（Ⅱ）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解得平面AHB的一個法向量，根據向量數量積求向量夾角，最后根據向量夾角與線面角關系得結果，（Ⅲ）先設N坐標，再根據與平面ABC的法向量的數量積為零解得結果.

（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BC，

又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

∵AH平面PAC，

∴BC⊥AH．

∵H為PC的中點，PA=AC，

∴AH⊥PC．

∵PC∩BC=C．

∴AH⊥平面PBC；

（Ⅱ）

由題意建立空間直角坐標系．A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），

P（0，0，2），H（0，1，1），M．

=（0，1，1），=（1，2，0），=．

設平面ABH的法向量為=（x，y，z），則，取=（2，-1，1）．

設PM與平面AHB成角為，

則sin====．

所以PM與平面AHB成角的正弦值為

（Ⅲ）假設在線段PB上存在點N，使得MN∥平面ABC．

設，=（1，2，-2），

∴．

∴==，

∵MN∥平面ABC，平面ABC的法向量為=（0，0，2），

∴=-=0，解得．

∴點N是靠近B點的四等分點．