Question

【題目】已知．

（1）設(shè)是的極值點，求實數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間：

（2）時，求證：．

Answer 1

【答案】（1） 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； （2）見解析.

【解析】

（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由是函數(shù)的極值點，解得，又由，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1），進而得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在上的單調(diào)性，即可作出證明.

（1）由題意，函數(shù)的定義域為，

又由，且是函數(shù)的極值點，

所以，解得，

又時，在上，是增函數(shù)，且，

所以，得，，得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由（1）知因為，在上，是增函數(shù)，

又（且當自變量逐漸趨向于時，趨向于），

所以，，使得，

所以，即，

在上，，函數(shù)是減函數(shù)，

在上，，函數(shù)是增函數(shù)，

所以，當時，取得極小值，也是最小值，

所以，

令，

則，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，

即成立，