Question

已知數列{a_n}滿足：a₁++ +…+＝n²+2n（其中常數λ＞0，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）當λ＝4時，是否存在互不相同的正整數r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數列？若存在，給出r，s，t滿足的條件；若不存在，說明理由；
（3）設S_n為數列{a_n}的前n項和．若對任意n∈N^*，都有(1-λ)S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

（1）a_n＝(2n＋1)·λ^n－1  (n∈N^*)．（2）不存在這樣的正整數r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數列．（3）當0＜λ＜1時，結論成立．
本試題主要是考查了數列的通項公式以及數列的求和、和不等式的成立的證明綜合運用。
（1）根據已知條件可知利用前n項和與通項公式之間的關系得到通項公式。
（2）因為當λ＝4時，a_n＝(2n＋1)·4^n－1．
若存在a_r，a_s，a_t成等比數列，則[(2r＋1)·4^r－1] [(2t＋1)·4^t－1]＝(2s＋1)²·4^2s－2．
整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 ^{r＋t －2s}＝(2s＋1)²，可以判定為等比數列。
（3）因為S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋(2n＋1)λ^n－1．，需要對于參數λ分情況討論得到和式的求解，以及不等式的證明。