Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，且它的一個焦點 的坐標為 .
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設過焦點 的直線與橢圓相交于 兩點， 是橢圓上不同于 的動點，試求 的面積的最大值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為 ，則 ．又由 ，可解得 ，
所以 ，
所以，橢圓的標準方程為 ．
（Ⅱ）設過焦點 的直線為 ．
①若 的斜率不存在，則 ，即 ，
顯然當 在短軸頂點 或 時， 的面積最大，
此時， 的最大面積為 .
②若 的斜率存在，不妨設為 ，則 的方程為 ．
設 ．
聯立方程： 消去 整理得： ，
所以 則 ．
因為，當直線與 平行且與橢圓相切時，此時切點 到直線 的距離最大，
設切線 ，
聯立 消去y 整理得： ，
由 ，解得： ．
又點 到直線 的距離 ，
所以 ，
所以 .
將 代入得 ．
令 ，設函數 ，則 ，
因為當 時， ，當 時， ，
所以 在 上是增函數，在 上是減函數，所以 ．
故 時， 面積最大值是 ．顯然 ，
所以，當 的方程為 時， 的面積最大，最大值為 ．
【解析】(1)由條件得到關于a,b,c的方程組求解.
(2)分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論,設出直線的方程,代入橢圓方程消去y得關于x的一元二次方程,結合 韋達定理和弦長公式求出弦長,再求出與直線平行的切線方程,由切點到直線的距離不是三角形的高,將三角形的面積表示為m的函數式,先換元,再用導數求出函數的最值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．