Question

（2012•寶雞模擬）設偶函數f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時，f（x）=x，則關于x的方程f(x)=(

1

8

)x在區間[0，3]上解的個數有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據已知條件推導函數f（x）的周期，再利用函數與方程思想把問題轉化，畫出函數的圖象，即可求解．

解答：解：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），
∴原函數的周期T=2，
又∵f（x）是偶函數
∴f（-x）=f（x），
又∵x∈[0，1]時，f（x）=x，函數的周期為2，
∴原函數的對稱軸是x=1，且f（-x）=f（x+2）
設y1=f(x) ，y2=(

1

8

)x
方程f(x)=(

1

8

)x=x根的個數，即為函數y1=f(x) ，y2=(

1

8

)x的圖象交點的個數．
由以上條件，可畫出y1=f(x) ，y2=(

1

8

)x的圖象：
又因為當x=1時，y₁＞y₂，
∴在（0，1）內有一個交點．
∴結合圖象可知，在[0，3]上y1=f(x) ，y2=(

1

8

)x共有3個交點
∴在[0，3]上，原方程有3個根．
故選C．

點評：本題考查函數的性質，函數與方程思想，數形結合思想．轉化思想，屬中檔題．