Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=9，an+1=an+2n+5；數(shù)列{bn}滿足b1= ，bn+1= bn（n≥1）．
（1）求an ， bn；
（2）記數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Sn ， 證明： ≤Sn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=an+2n+5得an+1﹣an=2n+5，

則a2﹣a1=7，

a3﹣a2=9，

…

an﹣1﹣an﹣2=2（n﹣2）+5，

an﹣an﹣1=2（n﹣1）+5=2n+3

等式兩邊同時(shí)相加得

an﹣a1= ×（n﹣1）=（5+n）（n﹣1）=n2+4n﹣5，

則an=a1+n2+4n﹣5=n2+4n﹣5+9=n2+4n+4，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 ．

又∵ ， ，

∴ ，∴ ， ， ，…， ，

將上述（n﹣1）個(gè)式子相乘，得 ，即 ．

（2）解：∵ ．

∵ = ，

，∴

【解析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法和累積法進(jìn)行求解即可．（2）求出數(shù)列{ }的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求解，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．